Raketengleichung

Newton’s 2. Gesetz

Jeder kennt vermutlich die Gleichung  $\vec{F}=m*\vec{a}$ , zumindest aus dem Physikunterricht in der Schule. Sie stammt von Newton’s zweitem Gesetz. Man kennt es meist auch unter dem Namen: Kraft ($F$) gleich Masse ($m$) mal Beschleunigung ($a$).

Jedoch ist das nicht immer korrekt, sondern nur wenn die Masse während der Beschleunigung konstant bleibt. Denn genau genommen sagt das zweite Gesetz von Newton aus, dass Kraft gleich der zeitliche Ableitung des Impulses ist:

$\vec{F}=\frac{d(\vec{p})}{dt}$

Wobei der Impuls $\vec{p}=m*\vec{v}$ (Masse mal Geschwindigkeit) ist.

Nehmen wir also mal an, dass die Masse und die Geschwindigkeit zeitlich abhängig sind mit $v(t)$ und $m(t)$. Damit ergibt sich

$\vec{F}=\frac{d}{dt}(m(t)*\vec{v}(t))$

Wenn man sich nun ein bisschen mit Ableitungen auskennt sollte man sehen, dass man hier beim Ableiten die Produktregel benutzten muss. Welche lautet:

Für $y(x)=u(x)*v(x)$

ist die Ableitung $\Rightarrow y'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)$

Somit ergibt sich für die Impulsableitung:

$\frac{d}{dt}(m(t)*\vec{v}(t))$$=(\frac{d}{dt}m(t))*v(t)+(\frac{d}{dt}v(t))*m(t)$$=v(t)*\dot{m}(t)+\dot{v}(t)*m(t)$

wobei $\dot{v}(t)=\frac{d}{dt}v(t))$

Die Schreibweise mit dem Punkt über einer Funktion ist eine Kurzform für die Ableitung nach der Zeit also $\frac{d}{dt}$ in der Physik. An dieser Form kann man schön sehen wie die Gleichung $F=m*a$ zustande kommt: Ist die Masse zeitlich nicht abhängig so ist ihre zeitliche Ableitung gleich $0$ und damit der ganze linke Teil: $\dot{m}(t)=0 \Rightarrow v(t)*\dot{m}(t)=0$ und somit ergibt sich $F=\dot{v}(t)*m(t)$ mit $m(t)=const=m$ und $\dot{v}(t)$ ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Dies sollte dem ein oder anderen auch schon etwas sagen: das ist nämlich die Beschleunigung auch als $a$ bezeichnet.

Soweit so gut, aber wann hat man denn jetzt nun eine zeitliche Änderung der Masse? In den meisten Fällen tatsächlich nicht, sonst wäre die bekannte Formel von Newton nicht so geläufig. Aber es gibt einen sehr wichtigen Fall, bei dem man ohne die oben gezeigte Formel falsche Ergebnisse berechnen würde: Beim Berechnen von Raketenumlaufbahnen und Triebwerksverbrauchen, da eine Rakete einen Großteil ihrer Masse auf dem Weg in den Orbit nach unten ausstößt um Newton’s 3. Gesetz, Kraft gleich Gegenkraft, auszunutzen um sich von der Erde weg zu drücken. Deshalb wird die Kraftberechnung mit Berücksichtung einer zeitlichen Massenabnahme umgangsprachlich auch oft mit der Raketengleichung gleichgesetzt, zumindest hat unser Experimentalphysik Prof das immer gemacht.

Herleitung

Die Raketengleichung beschreibt allgemein die Geschwindigkeit $v(t)$ einer Rakte, z.B. einer Wasserrakete, nach einer gewissen Zeit $t$ mit einer gewissen Restmassenfunktion $m(t)$ an Treibstoff.

Aber zunächst einmal zu der Kraft, welche die Rakete nach vorne drückt: Wegen dem Rückstoßprinzip muss hier als konstante Geschwindigkeit die der Austrittsgase $v_g$ verwendet werden. Mit der oberen Formel für Kraft ergibt sich:

$F_R = m(t)*\frac{dv(t)}{dt}+v_g*\frac{dm(t)}{dt}$

Für eine detailiertere Herleitung mittels Impuls kann ich TU Freiberg oder Wikipedia empfehlen. Evtl. werde ich zu einem späteren Zeitpunkt selbst eine genauere Herleitung schreiben.

Diese Kraft setzten wir gleich der Gewichtskraft da die Rakte diese mindestens überwinden muss um sich nach oben zu drücken. Zu beachten ist das die Gewichtskraft negativ ist da sie in unserem Koordinatensystem nach unten zeigt: $F_R = F_G$

Annmerkung: Als $F_G$ setzte ich hier einfachhalber $-m*g$ an, dies wäre z.B. bei einer Wasserrakte der Fall. Falls man mit echten Rakten rechnen möchte muss man als $F_G$ die Graviationskraft benutzten. Außerdem vernachlässigen wir jegliche Art von Reibung.

$\Rightarrow m(t)*\frac{dv(t)}{dt}+v_g*\frac{dm(t)}{dt} = -m(t)*g$ $| :m(t)$

$\Rightarrow \frac{dv(t)}{dt}+v_g*(\frac{dm(t)}{dt})*\frac{1}{m(t)} = -g$ $| -v_g*(\frac{dm(t)}{dt})*\frac{1}{m(t)}$

$\Rightarrow \frac{dv(t)}{dt} = -g-v_g*(\frac{dm(t)}{dt})*\frac{1}{m(t)}$

Damit hätten wir jetzt eine Differentialgleichung, aber keine Panik: In diesem einfachen Fall lässt sie sich mittels beidseitiger Integration realtiv leicht lösen. Die Idee dahinter ist, dass wir dann einen Term für die Geschwindigkeit erhalten welcher genau unserer gesuchte Raketengleichung ist. Für $t_0=0$ ergibt sich

$\int_{0}^{t} \frac{dv(t)}{dt} * dt = \int _{0}^{t}(-g-v_g*(\frac{dm(t)}{dt})*\frac{1}{m(t)})*dt$

$\Rightarrow v(t) =-\int _{0}^{t}g*dt   -v_g\int _{0}^{t}(\frac{dm(t)}{dt})*\frac{1}{m(t)}*dt $

Das linke Integral lässt sich realtiv leicht lösen. Bei dem Zweiten braucht man jedoch wenn man es nicht sofort sieht ein paar forgeschrittene Matheskills und zwar Substitution. Aber auch wenn man dieses Konzept nicht kennt, lässt sich vielleicht sehen, dass man bei diesem Integral die Ableitung des Nenners im Zähler stehen hat. Und wem jetzt noch einfällt das die Ableitung des Logarithmus mit innerem Term wie folgt aussieht $\frac{d ln(f(x))}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)}$ könnte auch ohne Substitution auf die Lösung kommen. Zu Beachten ist jedoch noch die Anpassung der Integralgrenzen, so dass man folgendes erhält:

Substitution mit $s=m(t)ds$, $ds=\frac{dm(t)}{dt}*dt$

$v(t) =-g*t   -v_g\int _{m_0}^{m(t)}(\frac{1}{s})*ds$$= -g*t   -v_g *[ln(s)]_{m_0}^{m(t)}$$ = -g*t   -v_g *ln(m(t))-ln(m_0)$

$\Rightarrow v(t) = -g*t  + v_g *ln(\frac{m_0}{m(t)})$

Allgemein:

$v(t) = v_0 + v_g *ln(\frac{m_0}{m(t)})$

Konsequenz

Langer Weg, aber es hat sich gelohnt! Hier ist sie, die Raketengleichung in voller Pracht. Als Konsequenz kann man sehen das die Endgeschwingigkeit $v_{end}= v_g *ln(\frac{m_0}{m_{end}})$ nur abhängt von dem Rückstoß der Antriebsgase und der Endmasse. Bemerkenswert ist, dass Endgeschwindigkeiten größer als $v_g$ erreicht werden können. Um jedoch Geschwindigkeiten weit jenseits von $v_g$ zu erreichen, werden unterwegs Teile der Struktur, z.B. leere Tanks oder auch Triebwerksteile zurückgelassen.

 

 

 

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