Fluchtgeschwindigkeit, oder wie kann eine Rakete die Atmosphäre verlassen?

Die Fluchtgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit die ein Objekt benötigt um der Gravitation eines Himmelskörpers zu entkommen, lässt sich relativ leicht herleiten: Zunächst einmal benötigt man die Formel für die Höhenenergie.

    \[E_{ H } = m*g*h\]

Wie man sieht ist diese aufgebaut aus der Masse des betrachteten Objekts, der Erdbeschleunigung und der überwundenen Höhe. Das Problem wieso diese Formel nicht 1:1 übernommen werden kann ist, dass sie mit der konstanten Erdbeschleunigung g\approx9.81\frac{m}{s^2} arbeitet. Für kleine Höhen ist diese zwar näherungsweise korrekt, doch bei größeren Höhen, wie wir sie später noch brauchen, liefert die Formel falsche Ergebnisse, da die Erdbeschleunigung bei größerem Abstand von der Erde abnimmt. Dieses Phänomen kann man auch anhand der Berechnung vom g-Faktor sehen:

    \[F=m*a \Rightarrow a=\frac{ F }{ m } \Rightarrow g=a= \frac{ F_{ G } }{ m } = G*\frac{ m*m_{ E } }{ {r_{ E }}^{ 2 }*m } = G*\frac{ m_{ E } }{ {r_{ E }}^{ 2 } }\]

    \[\Rightarrow g=6.6738*10^{ -11 }*\frac{ m^{ 3 } }{ kg*s^{ 2 } } *\frac{ 5.974*10^{ 24 }kg }{ ({6.371*10^{ 6 }m)}^{ 2 } }\approx 9.82\frac{ m }{ s^{ 2 } }\]

Wie man sieht ist der g-Faktor also indirekt proportional zum Radius vom Erdmittelpunkt. Dieser verändert sich bei großen Höhenunterschieden aber natürlich auch und somit bleibt g nicht konstant.

Da es aber für die Gewichtskraft eine geeignete Formel gibt, auch Newton-Gravitationsgesetz genannt, kann man diese für m*g ersetzten. Um jetzt die gesamte potentielle Energie zu bekommen, welche ein Objekt auf der Erdoberfläche besitzt, setzt man h=r_E, da man die Höhenenergie vom Erdkern haben möchte, also genau den Radius der Erde. Nach diesen Überlegungen erhält man folgendes:

    \[E_{ pot }=G*\frac{ m*m_{ E } }{ {r_{ E }}^{ 2 } }*r_{ E }=G*\frac{ m*m_{ E } }{ {r_{ E }} }\]

So nach dem wir jetzt die Gesamte potentielle Energie errechnen können die ein beliebiges Objekt auf der Erde hat, muss man Epot nur noch mit Ekin gleichsetzten, um herauszufinden welche Geschwindigkeit es benötigt, um diese Energie zu überwinden.

    \[E_{ pot }=E_{ kin } \Rightarrow G*\frac{ m*m_{ E } }{ {r_{ E }} }=\frac{ 1 }{ 2 }*m*v^{ 2 } \Rightarrow v^{ 2 }= G*\frac{ 2*m*m_{ E } }{ {r_{ E }*m} }\]

    \[ \Rightarrow v^{ 2 }= G*\frac{ 2*m_{ E } }{ {r_{ E }} }\Rightarrow v_{ flucht }= \sqrt{ G*\frac{ 2*m_{ E } }{ {r_{ E }} } }\]

    \[\text{ Allgemein: } \Rightarrow v_{ flucht }= \sqrt{ 2*g*R }\]

Da sich die Masse herauskürzen lässt, ist die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit für alle Körper gleich groß. Außerdem gilt diese auch für Objekte bei denenv>=0.1c, da beim Herleiten mit relativistischen Größen das gleiche Ergebnis heraus kommt. Die Herleitung ist aber um einiges komplexer, weshalb ich darauf im Folgenden auch nicht genauer eingehen werde. Allerdings bietet dieser Fakt einige Vorteile: So lässt sich z.B. für v=c einsetzten und somit der Radius ausrechnen, den die Erde haben müsste damit kein Licht mehr entweichen könnte. In anderen Worten, damit die Erde ein schwarzes Loch wäre. Diesen Radius werde ich jedoch in einem anderen Artikel ausrechnen.

Für den durchschnittlichen Radius der Erde gilt aufgrund der Formel also folgende Fluchtgeschwindigkeit:

    \[v_{ flucht }= \sqrt{ G*\frac{ 2*m_{ E } }{ {r_{ E }} } }=\sqrt{ 6.6738*10^{ -11 }*\frac{ m^{ 3 } }{ kg*s^{ 2 } }*\frac{ 2*5.974*10^{ 24 }kg }{ {6.371*10^{ 6 }m} } }\]

    \[\approx 11*10^{ 3 }\frac{ m }{ s }\]

Eine Rakete müsste dementsprechend mit mindestens dieser Geschwindigkeit fliegen um, dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen. Dabei ist es geschickt die Rakete in der Nähe des Äquators zu starten, da man dort die Erddrehung als Anfangsgeschwindigkeit schon hat.

    \[v=\frac{ s }{ t }=\frac{ 2\pi *r_{ E } }{ 1d }=\frac{ 2\pi * 6.371*10^{ 6 }m}{ 24*3600s }\approx 460\frac{ m }{ s }\]

Diese beträgt ca. 460 \frac{m}{s}

Aus diesem Grund lässt die ESA ihre Raketen auch in Französisch-Guyana starten.

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